资源简介
专题5.13 分式方程（知识讲解）【学习目标】1． 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2． 会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程．特别指出：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数．（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）．分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程．（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程．要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程．转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母．在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根．因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根．解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解．要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根．产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根．特别指出：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的．根据方程的同解原理，方 程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程．如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根．（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的．要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题．列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案．类型一、分式方程 定义的理解与认识1．下列方程哪些是分式方程？（1）；（2）；（3）；（4）（a是常数）．举一反三：【变式】2．在下列方程：①、②、③、④、⑤⑥，⑦，⑧，⑨中，哪些是分式方程，并说明理由．类型二、分式方程 解分式方程3．解下列方程：(1)(2)举一反三：【变式1】4．解分式方程(1)(2)【变式2】5．解下列分式方程：(1)．(2)．类型三、分式方程 解分式方程 求参数6．关于的分式方程：．(1)当时，求此时方程的根；(2)若这个方程的解为正数，求取值的范围．举一反三：【变式1】7．已知关于x的方程(1)当时，求方程的解；(2)当m取何值时，此方程无解；(3)当此方程的解是正数时，求m的取值范围．【变式2】8．已知关于的分式方程．(1)当时，求方程的解；(2)如果关于的分式方程的解为正数，求的取值范围；类型四、分式方程 解分式方程 无解问题 增根问题9．已知关于的分式方程(1)若方程的增根为，求的值；(2)若方程无解，求的值．举一反三：【变式1】10．关于x的分式方程(1)若方程的增根为，求m的值；(2)若方程有增根，求m的值；(3)若方程无解，求m的值.【变式2】11．已知关于x的分式方程(1)若解得方程有增根，且增根为x=-2，求m的值(2)若方程无解，求m的值类型五、分式方程的应用 列分式方程 列分式方程解应用12．在学习“分式方程应用”时，张老师板书了如下的问题，小明和小亮两名同学都列出了对应的方程．15.3分式方程 例：有甲乙两个工程队，甲队修路800m与乙队修路1200m所用时间相等，乙队每天比甲队多修40m，求甲队每天修路的长度 小明： 小亮：根据以上信息，解答下列问题：(1)小明同学所列方程中x表示______，列方程所依据的等量关系是________________________________；小亮同学所列方程中y表示______，列方程所依据的等量关系是________________________________；(2)请你在两个方程中任选一个，解答老师的例题．举一反三：【变式1】13．据报道：阿尔法狗(AlphaGo)是第一个击败人类职业围棋选手、第一个战胜围棋世界冠军的人工智能程序（其主要工作原理是“深度学习”），堪称人工智能发展的一个重要里程碑，也让全世界的目光聚焦在人工智能这个热门科技领域．目前人工智能应用非常广泛，其中，机器人的需求日益增大，请根据以下情境解决问题：某工厂采用A型、B型两种机器人代替人力搬运危险产品．A型机器人比B型机器人每小时多搬运10kg产品，A型机器人搬运800kg所用时间与B型机器人搬运600kg产品所用时间相等．问B型机器人每小时搬运多少kg产品？根据以上信息，解答下列问题．(1)小佳同学设B型机器人每小时搬运xkg产品，可列方程为 ；小惠同学设A型机器人搬运800kg所用时间为y小时，可列方程为 ；(2)请你选择（1）中两位同学的其中一种解题思路或自己另想一种思路，写出完整的解答过程，解决问题．【变式2】14．某部队工兵连接到抢修一段长3600米道路的任务，按原计划完成总任务的后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了50%，一共用了9小时完成任务．(1)按原计划完成总任务的时，已抢修道路_____________米；(2)求原计划每小时抢修道路多少米 15．2023年是中国农历癸卯兔年．春节前，某商场进货员打算进货“吉祥兔”和“如意兔”两种布偶，发现用8800元购进的“吉祥兔”的数量是用4000元购进的“如意兔”的2倍，且每件“吉祥兔”的进价比“如意兔”贵了4元．(1)“吉祥兔”、“如意兔”每件的进价分别是多少元？(2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进“吉祥兔”和“如意兔”两种布偶共200个，“吉祥兔”售价定价为70元，“如意兔”售价为60元，若总利润不低于4120元，问最少购进多少个“吉祥兔”？举一反三：【变式1】16．为深入学习二十大重要讲话精神，落实立德树人根本任务，沙坪坝区中小学开展了“校村共育”研学项目．某中学七年级参加了“寻根·行走的青春”研学活动，一班选择A研学线路，二班选择B研学线路．已知A研学线路的路程比B多3公里，A、B研学线路的路程和为27公里．(1)求A、B两研学线路的路程分别是多少公里？(2)两个班同时出发，结果一班比二班晚小时走完研学路程．已知一班的行进速度是二班行进速度的倍，求二班的行进速度．【变式2】17．“绿水青山就是金山银山”，重庆市政府为了美化生态环境，给居民创造舒适生活，计划将某滨江路段改建成滨江步道．一期工程共有吨渣土要运走，现计划由甲、乙两个工程队运走渣土．已知甲、乙两个工程队，原计划甲平均每天运走的渣土比乙平均每天运走的渣土多，这样甲运走吨渣土的时间比乙运走剩下渣土的时间少两天．(1)求原计划甲平均每天运渣土多少吨？(2)实际施工时，甲平均每天运走的渣土比原计划增加了m吨，乙平均每天运走的渣土比原计划增加了，甲、乙合作7天后，甲临时有其他任务；剩下的渣土由乙再单独工作2天完成．若运走每吨渣土的运输费用为元，请求出乙工程队的运输费用．试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页参考答案：1．（1）（2）是分式方程【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的字母的方程叫做分式方程即可判断．【详解】解：（1）是分式方程；（2）是分式方程；（3）不是分式方程；（4）（a是常数）不是分式方程，故（1）（2）是分式方程．【点睛】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是：会利用定义去判断是否为分式方程．2．③④⑤⑦,详见解析【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．【详解】解：方程①②⑥⑧分母中不含未知数，故①②⑥⑧不是分式方程；方程③④⑤⑦分母中含表示未知数的字母，故是分式方程；方程⑨属于无理方程．【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．3．(1)(2)【分析】（1）方程两边同乘以，将分式方程转化成整式方程求解，再检验即可；（2）方程两边同乘以，将分式方程转化成整式方程求解，再检验即可．【详解】（1）解：原方程化为，两边同乘以，得整理，得，解得，经检验，是原方程的根，∴原方程的根为．（2）解：两边同乘以，得，，整理，得…解得，经检验，是原方程的根．∴原方程的根为．【点睛】本题考查解分式方程，通过去分母，将分式方程化成整式方程求解是解题的关键，注意解分式方程要验根．4．(1)(2)无解【分析】（1）等号两边同时乘以将原方程转换为整式方程，然后求解验根即可；（2）等号两边同时乘以将原方程转换为整式方程，然后求解验根即可．【详解】（1）解：，去分母得：，解得：，经检验是原方程的解；（2）去分母得：，解得：，经检验是原方程的增根，故原方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解本题的关键，注意解分式方程需要验根．5．(1)原分式方程无解(2)【分析】（1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；（2）方程两边都都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．【详解】（1）解：方程两边都乘，得，解得：，检验：当时，，所以是增根，即原分式方程无解；（2）方程两边都都乘，得，解得：，检验：把代入，所以是原分式方程的解，即原分式方程的解是．【点睛】本题考了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．6．(1)(2)且【分析】（1）把代入分式方程，去分母，解的值，再进行检验即可；（2）首先解分式方程，解出，分式方程解为正数的条件为有解且解为正数，分式方程有解的条件为，故且，解出的范围即可．【详解】（1）解：（1）当时，分式方程为；，方程两边同乘以，得，解得，当时，，所以当时，分式方程的解为；（2），方程两边同乘以，得，解得，这个方程的解为正数，且，解得且．【点睛】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是掌握分式方程的解法以及分式方程解为正数的条件的理解．7．(1)；(2)；(3)且【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，将代入计算即可求出x的值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，将代入计算，即可求出m的值；（3）表示出分式方程的解，由解为正数确定出m的范围即可．【详解】（1）解：分式方程去分母得：，整理得：，（1）当时，，解得：，经检验：是原方程的解；（2）解：∵分式方程无解，∴，∴，当时，，∴时该分式方程无解；（3）解：解关于x的分式方程得：，∵方程有解，且解为正数，∴ ，解得：且．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．8．(1)(2)且【分析】（1）将代入得出关于x的分式方程，然后解方程即可；（2）先用a表示出分式方程的解，根据分式方程的解为正数列出关于a的不等式，同时注意，求出a的范围即可．【详解】（1）解：把代入得：，方程两边同乘得：，去括号得：，移项合并同类项得：，未知数系数化为1得：，检验：把代入得：，∴原方程的解．（2）解：，方程两边乘得：，去括号得：，移项合并同类项得：，未知数系数化为1得：，∵分式方程的解为正数，∴，解得：，∵，即，∴，解得：，∴的取值范围是：且．【点睛】本题主要考查了解分式方程，已知分式方程解的情况求参数，解题的关键是准确计算，注意最后要对方程的解检验．9．(1)(2)或或【分析】（1）先把分式方程化为整式方程，再把代入整式方程，即可求解；（2）根据方程无解可得两种情况：①时，方程无解，②方程有增根，进而即可求解．【详解】（1）解：方程两边同时乘以，去分母并整理得，是分式方程的增根，，解得：；（2）解：由（1）知，当时，该方程无解，此时；当时，要使原方程无解，则，解得：或，即或 ，或，综上，的值为或 或．【点睛】本题主要考查了分式方程无解的问题，把分式方程化为整式方程，理解分式方程产生增根的原因是解题的关键．10．(1)(2)或(3)1或或【分析】（1）根据分式方程的性质先去分母，再移项并合并同类项，结合题意，通过求解一元一次方程，即可得到答案；（2）根据分式方程增根的性质，首先得方程的增根为或，再通过计算即可得到答案；（3）结合（1）的结论，根据分式方程和一元一次方程的性质计算，即可得到答案.【详解】（1）∵，去分母得：，移项并合并同类项，得：，当方程的增根为时，，∴；（2）当方程有增根时，方程的增根为或，当时，，当时，，解得：，∴或；（3）∵当方程无增根，且时，方程无解，∴得，当方程有增根，且时，，方程无解，当方程有增根，且时，，方程无解，∴当或或时，方程无解．【点睛】本题考查了分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程的性质，从而完成求解.11．(1)(2)或或【分析】（1）将分式方程化为整式方程，将增根代入求解即可；（2）将分式方程化为整式方程，根据无解的两种情况，一是有增根，二是整式方程无解进行计算即可．【详解】（1）解：方程两边同乘 得：移项合并同类项得：将代入得：解得：（2）解：由（1）可知：∵方程无解：①整式方程无解：，解得：②分式方程有增根：或x+2=0，解得：当时：当时：，解得：故当或或时，方程无解．【点睛】本题考查根据分式方程的解的情况判断参数的值，注意分式方程无解包括两种情况，一种是整式方程无解，一种是分式方程有增根．12．(1)甲队每天修路的米数；甲队修路800m与乙队修路1200m所用时间相等；甲队修路800m所用时间；乙队每天比甲队多修40m(2)甲队每天修路为80m【分析】（1）设甲队每天修的路为x米，则甲队修路800m与乙队修路1200m所用时间相等，设甲队修路800m所用时间为y天；乙队每天比甲队多修40m，以此数量关系列出两个分式方程；（2）解出分式方程即可．【详解】（1）x表示甲队每天修路的米数；等量关系是：甲队修路800m与乙队修路1200m所用时间相等y表示甲队修路800m所用时间；等量关系是：乙队每天比甲队多修40m（2）解：若小明设甲队每天修xm，则：解这个分式方程经检验，是原分式方程的根答：甲队每天修路为80m．设甲队修路800m所用时间为y天，，解得：y＝10，经检验，是原分式方程的根，（m），答：甲队每天修路为80m．【点睛】本题考查分式方程，设出恰当的未知数，准确抓住数量关系列出等量关系式是解题的关键．13．(1)，(2)B型机器人每小时搬运30kg产品【分析】（1）小佳同学的解法根据时间相等建立等量关系，小惠同学的解法根据搬运的速度相差10千克建立等量关系；（2）从（1）中任选一种或另做解法解答出答案即可．【详解】（1）解：小佳同学设B型机器人每小时搬运xkg产品，可列方程为：；小惠同学设A型机器人搬运800kg所用时间为y小时，可列方程为：；故答案为：，（2）设B型机器人每小时搬运xkg产品，根据题意可得：，解得：x＝30，经检验得：x＝30是原方程的解，且符合题意.答：B型机器人每小时搬运30kg产品．【点睛】本题考查分式方程的建立和求解，找到等量关系是本题关键．14．(1)900(2)原计划每小时抢修道路300米【分析】（1）按原计划完成总任务的时，列式计算即可；（2）设原计划每天修道路x米．根据原计划工作效率用的时间+实际工作效率用的时间=9，等量关系列出方程．【详解】（1）解：（1）按原计划完成总任务的时，已抢修道路为（米），答：按原计划完成总任务的时，已修建道路900米；故答案为：900；（2）解：设原计划每小时抢修道路米，根据题意得：，解得：．经检验：是原方程的解．答：原计划每小时抢修道路300米．【点睛】本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．15．(1)“吉祥兔”、“如意兔”每件的进价分别是44元和40元(2)最少购进20个吉祥兔【分析】（1）设如意兔每件的进价为x元，则吉祥兔每件的进价为元，根据题意列出关于x的分式方程，进行求解即可；（2）设购买吉祥兔a个，则如意兔个，根据题意列出关于a的一元一次不等式，进行求解即可．【详解】（1）解：设如意兔每件的进价为x元，则吉祥兔每件的进价为元，题意，得：，解得：，经检验是原方程的解，∴；答：“吉祥兔”、“如意兔”每件的进价分别是44元和40元．（2）解：设购买吉祥兔a个，则如意兔个，，解得答：最少购进20个吉祥兔．【点睛】本题考查分式方程的实际应用、一元一次不等式的应用，明确题意，正确列出方程或不等式是解题的关键．16．(1)A、B两研学线路的路程分别是15公里和12公里(2)公里/时【分析】（1）设A研学线路的路程为公里，B研学线路的路程为公里，根据题意列二元一次方程组即可得出结果．（2）设二班的行进速度为，则一班的行进速度为，根据“结果一班比二班晚小时走完研学路程”，列分式方程解出即可．【详解】（1）解：设A研学线路的路程为公里，B研学线路的路程为公里．由题意，得 ，解这个方程，得 ，答：A、B两研学线路的路程分别是15公里和12公里．（2）解：设二班的行进速度为，则一班的行进速度为，由题意，得，解这个方程，得，经检验，是原方程的解且符合题意，答：二班的行进速度为．【点睛】本题考查了二元一次方程组及分式方程的应用，解分式方程时注意未知数的值有实际意义并检验是本题的关键．17．(1)原计划甲平均每天运渣上吨(2)乙工程队的运输费用为元【分析】（1）原计划乙平均每天运渣土x吨，则原计划甲平均每天运渣土吨，由题意：甲运走吨渣土的时间比乙运走剩下渣土的时间少两天．列出分式方程，解方程即可；（2）由题意：实际施工时，甲平均每天运走的渣土比原计划增加了m吨，乙平均每天运走的渣土比原计划增加了，甲、乙合作7天后，甲临时有其他任务；剩下的渣土由乙再单独工作2天完成，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题．【详解】（1）解：设原计划乙平均每天运渣土x吨，则甲平均每天运渣土吨，根据题意得：，解得，经检验是原方程的解且符合题意，则，答：原计划甲平均每天运渣上吨．（2）解：根据题意得：，解得，则，答：乙工程队的运输费用为元．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出分式方程；②找准等量关系，正确列出一元一次方程．答案第1页，共2页答案第1页，共2页
展开更多......
收起↑